陕西事业单位联考备考数量关系之不定方程的巧解方法

【导读】
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方程是行测解题中经常采用的一种方法，其往往通过等量关系而构造，不定方程是方程的一种，但因其解有很多且不确定，让很多考生无从下手，下面我们就来简单探讨下不定方程在正整数范围内求解的几种方法。
一、定义
未知数的个数多于独立方程的个数
例如2x+y=10，此方程中未知的个数为2，独立方程为1个，则该方程为不定方程。
二、常用解法
(一)整除性质：不定方程各项存在共同的倍数关系
例1：2x+3y=30，已知x、y均为正整数，则x可能为()
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：C
解析：观察不定方程，发现3y、30均为3的倍数，即都能被3整除，则2x也能被3整除，2不能被3整除，那么x一定能被3整除，代入选项可选C。
例2：2014年父亲、母亲的年龄之和是年龄之差的23倍，年龄之差是儿子年龄的1/5，5年后母亲和儿子的年龄都是平方数。问2014年父亲的年龄是多少?(年龄都按整数计算)
A.36岁 B.40岁 C.44岁 D.48岁
答案：D
解析：设父亲年龄为x岁，母亲年龄为y岁，即x+y=23(x-y)，化简可得，12y=11x，题目要求x的值，观察等式，可知12y是12的倍数(能被12整除)，则11x也能被12整除，11不能被12整除，所以x一定能被12整除，代入选项，可排除B、C。代入A选项，若父亲为36岁，则母亲(y)为33岁，题中已知5年后母亲年龄为平方数，5年后，母亲年龄为33+5=38，不符合题意，排除，可直接选D。验证D答案，当父亲为48岁时，母亲为44岁，5年后，母亲年龄为44+5=49岁，满足题意。
(二)奇偶性：未知数系数奇偶性不同
例3：4x+5y=49，已知x、y均为正整数，则y可能为( )
A.8 B. 9 C.10 D.11
答案：B
解析：49为奇数，4x为偶数，则5y一定为奇数，乘积为奇数，则每项必定都为奇数，则y一定为奇数，代入选项，排除A、C，代入B项，当y=9时，x=1，选B。验证D：当y=11时，x为负数，与题不符，排除。
例4：装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个?
A.3、7 B.4、6 C.5、4 D.6、3
答案：A
解析：设大盒子为x个，小盒子为y个，根据题目可列出等式：11x+8y=89，观察不等式，89为奇数，8y为偶数，所以11x一定为奇数，即x一定为奇数，代入选项，排除B、D，假设A成立，当x=3时，y=7，成立，选A。验证C，若x=5时，y≠整除，而盒子一定为整数，不成立，排除。
(三)尾数法：未知数系数为5的倍数
例5：4x+5y=49，已知x、y均为正整数，则x可能为( )。
A.8 B.9 C.10 D.11
答案：D
解析：49为奇数，4x为偶数，则5y为奇数，故y一定为奇数，5乘以任何一个数尾数只可能为0或5，乘以奇数尾数一定为5，故5y尾数为5，49尾数为9，那么4x的尾数为4，代入选项，只有D满足题意，故选D。
例6：超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?
A.3 B.4 C.7 D.13
答案：D
解析：设大盒子为x个，小盒子为y个，则12x+5y=99，12x为偶数，99为奇数，所以5y为奇数，故y为奇数，那么5y尾数为5，又因99尾数为9，所以12x尾数为4，12乘以尾数为2或7的数，结果尾数可为4，依次代入，若x=2，则y=15，两种盒子相差15-2=13个，选D。若x=7，y=3，因题目要求两种盒子共十多个，不满足题意，排除。故选D。
以上就是不定方程常用的几种方法，在用方法的时候，我们也不要忘了结合选项去代入排除以帮助我们快速找到答案。同时在列普通方程组时，若考生们实在找不到其他等量关系，也可以试着采用不定方程的解法试着去解题。